Question

已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，其左、右焦点分别是F₁、F₂，点P是坐标平面内的一点，且|OP|=，•=（点O为坐标原点）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线y=x与椭圆C在第一象限交于A点，若椭圆C上两点M、N使+=λ，λ∈（0，2）求△OMN面积的最大值．

Answer

（1）设P（x，y），F1（-c，0），F2（c，0），由|OP|=得，由，得，由此能求出椭圆C的方程．
（2）由，得，设直线MN的方程为y=kx+m，联立方程组，得（1+3k2）x2+6kmx+3m2-3=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），由韦达定理知，由，知，，，=，O（0，0）到直线MN的距离为d=，由此能求出S△OMN的最大值．
【解析】
（1）设P（x，y），F1（-c，0），F2（c，0），
由|OP|=得，
由，得（-c-x，-y）•，
即，
所以c=，又因为，所以a2=3，b2=1，
椭圆C的方程为：；
（2）由得，
设直线MN的方程为y=kx+m，联立方程组
消去y得：（1+3k2）x2+6kmx+3m2-3=0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），
则，
∴，
∵，∴，，
得，于是，
∴=，
∵λ＞0，O（0，0）到直线MN的距离为d=，
∴
=，
当，即时等号成立，S△OMN的最大值为．