Question

如图所示，在棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，且AB∥CD，∠BAD=90°，PA=AD=DC=2，AB=4．
（Ⅰ）求证：BC⊥PC；
（Ⅱ）若F为PB的中点，求证：CF∥平面PAD．

Answer

（I）由底面ABCD为直角梯形，取AB中点E，连接CE，可证得△ABC为等腰直角三角形，即AC⊥BC，又PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，可得PA⊥BC，进而由线面垂直的判定定理得到BC⊥平面PAC，进而再由线面垂直的性质得到BC⊥PC；
（Ⅱ）取PA的中点G，连接FG、DG，可证得四边形DCFG为平行四边形，DG∥CF，进而由线面平行的判定定理得到答案．
证明：（Ⅰ）在直角梯形ABCD中，AC=，
取AB中点E，连接CE，
则四边形AECD为正方形，…（2分）
∴AE=CE=2，又BE=，
则△ABC为等腰直角三角形，
∴AC⊥BC，…（4分）
又∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，
∴PA⊥BC，
由AC∩PA=A得BC⊥平面PAC，
∵PC⊂平面PAC，
所以BC⊥PC．…（6分）
（II）取PA的中点G，连接FG、DG，
则，
∴．…（8分）
∴四边形DCFG为平行四边形，
∴DG∥CF．…（10分）
又DG⊂平面PAD，CF⊄平面PAD，
∴CF∥平面PAD．…（12分）