Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n+1=S_n-n+3，n∈N⁺，a₁=2．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项；
（Ⅱ）设的前n项和为T_n，证明：T_n＜．

Answer

（1）根据题中所给的an+1=Sn-n+3，可得an=sn-1-（n-1）+3，两者相减即可得出递推式，进而求出数列{an}的通项．
（2）根据题中所给的式子，求出bn的通项公式，进而求出的前n项和Tn，再比较它与的大小．
【解析】
（Ⅰ）∵an+1=Sn-n+3，n≥2时，an=Sn-1-（n-1）+3，（2分）∴an+1-an=an-1，即an+1=2an-1，∴an+1-1=2（an-1），（n≥2，n∈N*），（4分）∴an-1=（a2-1）2n-2=3•2n-2an=（6分）
（Ⅱ）∵Sn=an+1+n-3=3•2n-1+n-2，∴（8分）∴
相减得，，（10分）
∴＜．（12分）
∴结论成立．