Question

已知四边形ABCD为菱形，AB=6，∠BAD=60°，两个正三棱锥P-ABD、S-BCD（底面是正三角形且顶点在底面上的射影是底面正三角形的中心）的侧棱长都相等，如图，E、M、N分别在AD、
AB、AP上，且．
（Ⅰ）求证：PB⊥平面PAD；
（Ⅱ）求平面BPS与底面ABCD所成锐二面角的平面角的正切
值；
（Ⅲ）求多面体SPABC的体积．

Answer

（I）取AD中点O，连PO，BO，由等腰三角形三线可一，可得PO⊥AD，BO⊥AD，进而根据线面垂直的判定和性质可得AD⊥PB，由平行线分线段成比例定理，可证得MN∥PB，结合MN⊥PE得PB⊥PE，进而根据线面垂直的判定定理得到PB⊥平面PAD；
（Ⅱ）设P，S在底面的射影分别为P1，S1，取PS中点K，连接BK，DK，由线面夹角的定义，可得∠KBD即可为平面BPS与底面ABCD所成锐二面角的平面角，解三角形即可得到平面BPS与底面ABCD所成锐二面角的平面角．
（III）设P，S在△ABD和△BDC上的射影为H1，H2，根据PS∥AC，可得B-ACSP为四棱锥，分别计算四棱锥底面面积和高，代入即可得到多面体SPABC的体积．
证明：（Ⅰ）取AD中点O，连PO，BO，则PO⊥AD，BO⊥AD
AD⊥平面PBO，
∴AD⊥PB（2分）
又 AN=AP，AM=AB
∴MN∥PB
∵MN⊥PE
∴PB⊥PE
∵PE∩AD=E
∴PB⊥平面PAD（3分）
【解析】
（Ⅱ）设P，S在底面的射影分别为P1，S1，则
由所给的三棱锥均为正三棱锥且两三棱锥全等，
故PP1∥SS1，且PP1=SS1，∴四边形PSS1P1为平行四边形，
∴PS∥S1P1，又P1，S1分别为△ABD，△BCD的中心，
∴P1，S1在菱形的对角线AC上，
∴PS∥AC，即PS∥平面ABCD…（5分）
设平面PSB与平面ABCD的交线为l，取PS中点K，连接BK，DK，
由
∴为平面PSB与平面ABCD所成二面角的平面角…（7分）
在Rt△PP1A中，，
∴，
∴…（9分）
（III）设P，S在△ABD和△BDC上的射影为H1，H2，则H1，H2在直线AC上且PH1∥SH2，且PH1=SH2，
∴则H1H2SP为平行四边形，
∴PS∥AC
∴B-ACSP为四棱锥…7分
设PB=a，则PO2=a2-9，又BO=3，由（1）知∠BPO=90°
∴a2+a2-9=（3）2，
∴a2=18，即PB=3
∵PH1⊥平面ABD，
∴PH1⊥BD，
又BD⊥AC
∴BD⊥平面ACSP
设AC∩BD=F
∵四棱锥B-ACSP的高为BF，且BF=3…（9分）
∵H1F=AF，H2F=CF，
∴H1H2=AC=2，
∴PS=2，
在Rt△PH1A中，
PH1==
∴SACSP==12
∴多面体SPABC的体积V=•12•3=12