Question

已知数列{a_n}满足a_n-2a_n-1-2^n-1=0，（n∈N^*，n≥2），a₁=1．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）若S_n=a₁+a₂+…+a_n，且S_n+2ⁿ＞100恒成立，求n的最小值．

Answer

（1）由an-2an-1-2n-1=0，知，由此能够证明是等差数列．
（2）由（1）知，所以an=n•2n-1，所以Sn=1•2°+2•21+3•22+…+n•2n-1，由错位相减法能求出Sn=（n-1）•2n+1，由此能求出n的最小值．
【解析】
（1）an-2an-1-2n-1=0，
∴，
∴是以为首项，为公差的等差数列．       （4分）
（2）由（1）：，
∴an=n•2n-1（6分）
∴Sn=1•2°+2•21+3•22+…+n•2n-1①
则2Sn=1•21+2•22+3•23+…+n•2n②
①-②，得-Sn=1+21+22+…+2n-1-n•2n
=
=2n-1-n•2n，
∴Sn=（n-1）•2n+1（9分）
由Sn+2n＞100，
即（n-1）•2n+1+2n＞100恒成立，
得n•2n+1＞100恒成立，
∵{n•2n}是单增数列，且4•24+1=65，5•25+1=161，
∴nmin=5（12分）