Question

已知函数f（x）=6lnx+x²-8x，．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若在区间[1，e]上至少存在一点x，使f（x）＞g（x）成立，求实数p的取值范围．

Answer

（1）由，能求出函数f（x）的单调递增区间．
（2）令，则．令-8x2+6x+p=0，知△=36+32p．由此进行分类讨论能求出实数p的取值范围．
【解析】
（1）∵（3分）
∴x∈（1，3）时，f'（x）＜0，
∴f（x）在[1，3]单调递减，
x∈（0，1）或x∈（3，+∞）时，f'（x）＞0，
∴f（x）在（0，1]和[3，+∞）单调递增（5分）
（2）令（6分）
∴（7分）
令-8x2+6x+p=0知△=36+32p，
（i）当36+32p≤0即时，
△≤0，此时h'（x）≤0，
∴h（x）在[1，e]单调递减，
∴h（x）max=h（1）=-8-p＞0，
∴p＜-8（9分）
（ii）当时，
方程（1）有两根．（10分）
①若，即p≥8e2-6e时，
当x∈[1，e]，h'（x）≥0，此时h（x）在[1，e]上单调递增．
∴，得p＜6e-8e2，此时无解．（11分）
②若，
即时，
当x∈[1，e]，h'（n）＜0，
∴h（x）在[1，e]单调递减．
∴h（x）max=h（1）=-8-p＞0，
∴p＜-8此时无解．（12分）
③当2＜p＜8e2-6e时，，
∴单调递增，
h（x）单调递减，
∴，此时无解（13分）
综上知p＜-8时存在x使f（x）＞g（x）．（14分）