Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）的导函数是g（x），设x₁，x₂是方程g（x）=0的两根．若a+b+c=0，g（0）•g（1）＜0，则|x₁-x₂|的取值范围为    ．

Answer

由题意得：g（x）=3ax2+2bx+c，并且c=-a-b，因为g（0）•g（1）=c（3a+2b+c）＜0，所以可得：解得：．根据韦达定理可得：|x1-x2|的取值范围．
【解析】
由题意得：g（x）=3ax2+2bx+c
因为a+b+c=0，所以c=-a-b，
又因为g（0）•g（1）=c（3a+2b+c）＜0
所以（a+b）（3a+2b-a-b）＞0，即整理可得：
解得：．
因为x1，x2是方程g（x）=3ax2+2bx+c=0的两根
所以x1+x2=，x1x2==．
所以|x1-x2|=
因为 ，
所以|x1-x2|=＞，
所以|x1-x2|的取值范围为（，+∞）．
故答案为：（，+∞）．