Question

已知函数f（x）=-x（0＜x＜）；
（1）讨论函数f（x）的单调性并求极值；
（2）若x∈（0，]，求g（x）=的最大值．

Answer

（1）用求导法则，得到函数的导数f′（x），采用换元法：设，讨论f′（x）的单调性，得到导数f′（x）的最小值为正数，故函数在定义域内为增函数，不存在极值；
（2）由（1）可知在区间上有f（x）＞f（0）=0，即f（x）＞0，根据这一结论变形可得sin3x＞x3cosx，从而证出，在区间（0，]上g（x）为单调增函数，从而函数g（x）的最大值为．
【解析】
（1）∵f′（x）=…（2分）
=
换元：设，x∈（0，），可得t∈（0，1），
∴f′（x）=
令h（t）=2t6-3t4+1，则h/（t）=12t5-12t3=12t3（t2-1）＜0在t∈（0，1）时恒成立
所以h（t）在（0，1）上为单调减函数，
∴
∵．…（8分）
（2）由（1）可知在区间上有f（x）＞f（0）=0，
即f（x）＞0；∴，
∴…（10分）
∵
∴单调递增，
函数g（x）的最大值为．