Question

数列{a_n}是公差不为0的等差数列，其前n项和为S_n，且S₉=135，a₃，a₄，a₁₂成等比数列．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）是否存在正整数m，使仍为数列{a_n}中的一项？若存在，求出满足要求的所有正整数m；若不存在，说明理由．

Answer

（1）由数列{an}是公差不为0的等差数列，其前n项和为Sn，且S9=135，a3，a4，a12成等比数列，根据等差数列前n项和公式及等比数列的性质，我们易构造一个关于数列基本项（首项与公差）的方程组，解方程组，求出基本项，进而即可得到数列的通项公式．
（2）由（1）中结论，我们对进行化简，然后判断是否存在整数，使其满足数列的通项公式，若存在，即可得到满足题目的答案．
【解析】
（Ⅰ）设an的公差为d≠0，则，∴a1+4d=15①
又∵a3，a4，a12成等比数列，∴a42=a3•a12，即（a1+3d）2=（a1+2d）（a1+11d），
化简，得13d+7a1=0②
由①②，得：d=7，a1=-13，∴an=a1+（n-1）d=7n-20．（6分）
（Ⅱ）由于am=am+1-d，am+2=am+1+d，∴，
设，则，
即，由于k、m为正整数，所以7必须能被7m-13整除，
∴7m-13=1，-1，7，-7，∴m=2，k=10，
故存在唯一的正整数m=2，使仍为an中的一项．（12分）