Question

已知抛物线y²=4x与椭圆x²+=1（a＞1）交于A、B两点，点F为抛物线的焦点，若∠AFB=120°，则椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer

先根据题意画出图形，再由椭圆和抛物线的对称性，求出∠AFD=60°，由抛物线y2=4x（p＞0）求焦点F坐标，再设AF=2m，利用三角函数用m表示出AD和FD，再根据点F得位置进行分类，表示出A的坐标，代入抛物线和椭圆方程求出m和a的值，再由a、b、c和定义求得椭圆的离心率．
【解析】
由题意画出如图形如下：设AB于x轴的交点是D，
∵y2=4x，∴焦点F（1，0），
由椭圆和抛物线的对称性得，AB⊥x轴，∠AFD=60°，
设AF=2m（m＞0），在RT△AFD中，FD=m，AD=m，
（1）当点F在椭圆的内部时，由图得A（1+m，m），代入y2=4x得，3m2-4m-4=0，
解得，m=2或-（舍去），则A（3，2），把点A代入x2+=1，解得：无解；
（2）当点F在椭圆的外部时，由图得有A（1-m，m），代入y2=4x得，3m2+4m-4=0，
解得，m=或-2（舍去），则A（，），把点A代入x2+=1，
解得a2=，故c2=a2-1=，
∴e===．
故选A．