Question

¹⁰=a+a₁（x+1）+a₂（x+1）²+…+a₉（x+1）⁹+a₁₀（x+1）¹⁰，其中a_k （k=0，1，2，…，9，10）都是常数，则a₁+2a₂+3a₃+…+9a₉+10a₁₀=    ．

Answer

首先将10变形为（）10[1+（x+1）]10，再利用二项式定理展开可得10=（）10+（）10C101（1+x）1+（）10C102（1+x）2+…+（）10C1010（1+x）10；结合题意，可得a1=（）10C101，a2=（）10C102，…a10=（）10C1010，进而可得a1+2a2+3a3+…+9a9+10a10=（）10C101+（）10C102+…（）10C1010=（）10[C101+2C102+…+10C1010]，由二项式系数的性质，可得a1+2a2+3a3+…+9a9+10a10=（）10×10×[C9+C91+…+C99]=（）10×10×29，计算可得答案．
【解析】
10=（）10[1+（x+1）]10=（）10+（）10C101（1+x）1+（）10C102（1+x）2+…+（）10C1010（1+x）10；
根据题意，10=a+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a9（x+1）9+a10（x+1）10，
则a=（）10，a1=（）10C101，a2=（）10C102，…a10=（）10C1010，
则a1+2a2+3a3+…+9a9+10a10=（）10C101+2（）10C102+…+10（）10C1010，
=（）10[C101+2C102+…+10C1010]，
又由mCnm=nCn-1m-1，则C101=10C9，2C102=10C91，…，10C1010=10C99，
即a1+2a2+3a3+…+9a9+10a10=（）10×10×[C9+C91+…+C99]=（）10×10×29=5；
故答案为5．