Question

如图：直平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁，底面ABCD是边长为2a的菱形，∠BAD=60°，E为AB中点，二面角A₁-ED-A为60°．
（I）求证：平面A₁ED⊥平面ABB₁A₁；
（II）求二面角A₁-ED-C₁的余弦值；
（III）求点C₁到平面A₁ED的距离．

Answer

（I）由题意及△ABD为正三角形，和平面ABB1A1⊥平面ABCD且交于AB，利用面面垂直的判定定理即可得证；
（II）由（I）的过程及直平行六面体ABCD-A1B1C1D1中AA1⊥面ABCD．利用三垂线定理的逆定理及条件得到二面角的平面角，然后在三角形中求解即可；
（III）由题意及平面A1ED⊥面ABB1A1的性质定理得到FG是点F到平面A1ED的距离，然后在三角形中解出即可．
【解析】
（I）证明：连接BD，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，
∴△ABD为正三角形，
∵E为AB的中点，
∴ED⊥AB，
在直六面体ABCD-A1B1C1D1中：
平面ABB1A1⊥平面ABCD且交于AB，
∵ED⊂面ABCD∴ED⊥面ABB1A1，
∴平面A1ED⊥平面ABB1A1．
（II）【解析】
由（I）知：ED⊥面ABB1A1
∵A1E⊂面ABB1A1
∴A1E⊥ED
又在直平行六面体ABCD-A1B1C1D1中：AA1⊥面ABCD，
由三垂线定理的逆定理知：AE⊥ED，
∴∠A1EA=60°，
取BB1的中点F，连EF．AB1，则EF，在直平行六面体ABCD-A1B1C1D1中：AB1DC1
∴EF
∴E．F．C1、D四点共面，
∵ED⊥面ABB1A1且EF⊂面ABB1A1
∴EF⊥ED
∴∠A1EF为二面角A1-ED-C1的平面角，
在Rt△A1AE中：，
在Rt△EBF中：，
在Rt△A1B1F中：
∴在Rt△A1EF中：，
∴二面角A1-ED-C1的余弦值为，
（III）过F作FG⊥A1E交A1E于G点
∵平面A1ED⊥面ABB1A1
且平面A1ED∩面ABB1A1=A1E
∴FG⊥平面A1ED，
即：FG是点F到平面A1ED的距离，
在Rt△EGF中：
∴
∴，
∵EF且E．D∈面A1ED
∴点C1到平面A1ED的距离为．