Question

设x₁、x₂是函数的两个极值点．
（1）若x₁＜2＜x₂＜4，求证：f′（-2）＞3；
（2）如果|x₁|＜2，|x₂-x₁|=2，求b的取值范围；
（3）如果a≥2，且x₂-x₁=2，x∈（x₁，x₂）时，求函数g（x）=|f′（x）+2（x-x₂）|的最大值h（a）．

Answer

（1）利用导数与函数极值的关系列出关于a，b的不等式组是解决本题的关键，利用整体思想确定出f′（-2）的取值范围；
（2）建立b与x1，x2的关系是解决本题的关键．根据所得的函数表达式利用函数的单调性求出b的取值范围；
（3）写出函数g（x）的表达式是解决本题的关键，根据基本不等式求出函数的最大值h（a）．
【解析】
由已知：f'（x）=ax2+（b-1）x+1
故x1，x2是方程f'（x）=0的两根
（1）由于x1＜2＜x2＜4故由于f'（-2）=4a-2b+3
①×（-3）+②得：4a-2b＞0
∴f'（-2）＞3

（2）由韦达定理
故1-b=
当0＜x1＜2时，则＞0
这时，由|x2-x1|=2得x2=x1+2
即为增函数（也可用求导法来证），
故
当-2＜x1＜0时，有x1-x2=2，则b=1-也为增函数
故这时，
综上，b的取值范围是

（3）∵a≥2，x2-x1=2故可设f'（x）=a（x-x1）（x-x2）
∴g（x）=|f'
∵x∈（x1，x2）∴x-x2＜0，x-x1＞0，x-x1+＞0
∴+2
当且仅当x2-x=x-x1+等号成立．
∴h（a）=a++2a∈[2，+∞）．