Question

设锐角△ABC中，2sin²A-cos2A=2．
（1）求∠A的大小；
（2）求（cosB+sinB）²+sin2C的取值范围．

Answer

（1）利用二倍角的余弦函数公式化简已知等式的左边第一项，得到关于cos2A的方程，求出方程的解得到cos2A的值，由A为锐角得到2A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；
（2）由A的度数，根据内角和定理得到B与C的关系，用B表示出C，代入所求的式子中，利用三角函数的恒等变形化为一个角的正弦函数，由三角形为锐角三角形及A的度数，得到B的具体范围，进而得到这个角的范围，利用正弦函数的值域即可得到所求式子的取值范围．
【解析】
（1）由2sin2A-cos2A=2得：，
因为△ABC是锐角三角形，所以2A∈（0，π），
所以，所以；
（2）因为，
所以（cosB+sinB）2+sin2C

因为△ABC是锐角三角形，，所以
所以，
所以（cosB-sinB）2+sin2C的取值范围是．