Question

如图所示，在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中，∠DAB=90°，面PAC⊥平面ABCD，，M是PD的中点．
（1）求证：MC∥平面PAB；
（2）求CM与平面PBC所成角的正弦值；
（3）已知点Q是棱PD上的一点，若二面角Q-AC-D为45°，求．

Answer

过点A作底面ABCD的垂线，由∠DAB=90°，以A为原点建立空间直角坐标系，设PA=2，则．
（1）由M为PD中点，知，所以，，设，得到，由此能够证明CM∥平面PAB．
（2），设平面PBC的法向量为，由，得，由此能求出CM与平面PBC所成角的正弦值．
（3）设，λ∈（0，1），则，设平面QAC的法向量为，由，得，
平面ABCD的法向量，由二面角Q-AC-D为45°，能求出．
【解析】
过点A作底面ABCD的垂线，
又∵∠DAB=90°
∴可以A为原点建立空间直角坐标系，如图所示
取AC中点H，
∵PA=PB，∴PH⊥AC，
∵面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC
∴PH⊥平面ABCD
不妨设PA=2，则由已知条件可得：．
（1）证明：∵M为PD中点，
∴，
∴，
，
设，
则，∴，
∴，
∴平面PAB，
∵CM⊄平面PAB，
∴CM∥平面PAB．
（2），
设平面PBC的法向量为，
由可得，
可得一个法向量．
设CM与平面PBC所成角为θ，
则．
（3）设，λ∈（0，1），
则，
设平面QAC的法向量为，
由得，
可得一个法向量，
平面ABCD的法向量，
由二面角Q-AC-D为45°可得，
即，
解得，或λ=-1（舍）．
所以，
所以．