Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是PC的中点，PA=PD，BC=AD．
（Ⅰ）求证：PA∥平面BMQ；
（Ⅱ）求证：平面PQB⊥平面PAD．

Answer

（Ⅰ）连接AC，交BQ于N，连接MN，欲证PA∥平面MBQ，只需在平面MBQ内找一直线与PA平行即可，根据BCAQ可知四边形BCQA为平行四边形，且N为AC中点，根据中位线可知MN∥PA，而MN⊂平面MQB，PA⊄平面MQB满足线面平行的条件；
（Ⅱ）根据AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点可得四边形BCDQ为平行四边形，则CD∥BQ，从而QB⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD
且平面PAD∩平面ABCD=AD，根据面面垂直的性质可知，BQ⊥平面PAD，而BQ⊂平面PQB，满足面面垂直的判定定理，从而证得结论．
证明：（Ⅰ）连接AC，交BQ于N，连接MN． （2分）
∵BC∥AD且BC=AD，即BCAQ．
∴四边形BCQA为平行四边形，且N为AC中点，
又∵点M在是棱PC的中点，
∴MN∥PA           （4分）
∵MN⊂平面MQB，PA⊄平面MQB，（5分）
∴PA∥平面MBQ．    （6分）
（Ⅱ）∵AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，
∴四边形BCDQ为平行四边形，
∴CD∥BQ．         （8分）
∵∠ADC=90°
∴∠AQB=90°  即QB⊥AD．
又∵平面PAD⊥平面ABCD
且平面PAD∩平面ABCD=AD，（10分）
∴BQ⊥平面PAD．             （11分）
∵BQ⊂平面PQB，
∴平面PQB⊥平面PAD．      （12分）