Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面为矩形，侧棱PD垂直于底面，PD=DC=2BC，E为棱PC上的点，且平面BDE⊥平面PBC．
（1）求证：E为PC的中点；
（2）求二面角A-BD-E的大小．

Answer

解法一：（1）作CF⊥BE，垂足为F，得出CF⊥平面BDE，CF⊥DE．继而PD=PC，所以E为PC的中点．（2）作EG⊥DC，垂足为G，则EG∥PD，作GH⊥BD，垂足为H，连接EH，则∠EHG为二面角A-BD-E的平面角的补角，在Rt△EGH中求解．
解法二：不妨设BC=1，则PD=DC=2．建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz求解．（1）设=，则E（0，，）．由平面BDE⊥平面PBC，应有两平面的法向量也互相垂直，转化为两法向量数量积零，建立关于λ的方程并解之．
（2）利用面BDE、面ADB的法向量夹角求出二面角A-BD-E的大小．
解法一：（1）证明：如图，作CF⊥BE，垂足为F，由平面BDE⊥平面PBC，
则CF⊥平面BDE，知CF⊥DE．因为PD⊥平面ABCD，BC⊥CD，
CD为DE在平面ABCD内的射影，所以BC⊥DE，所以DE⊥平面PBC．
于是DE⊥PC，又PD=PC，所以E为PC的中点．…（6分）
（2）作EG⊥DC，垂足为G，则EG∥PD，从而EG⊥平面ABCD．
作GH⊥BD，垂足为H，连接EH，则BD⊥EH，
故∠EHG为二面角A-BD-E的平面角的补角．…（9分）
不妨设BC=1，则PD=DC=2，在Rt△EGH中，EG=PD=1，
GH==，∴tan∠EHC==．因此二面角A-BD-E的大小为π-arctan．
解法二：不妨设BC=1，则PD=DC=2．建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，
则D（0，0，0），B（1，2，0），C（0，2，0），P（0，0，2）．
（1）证明：设=，则E（0，，）．
设=（x1，y1，z1）为面PBC的法向量，则⊥，⊥，
又=（1，0，0），=（0，-2，2），∴=x1=0，=-2y1+2z1=0，
取=（0，1，1）．设=（x2，y2，z2）为面BDE的法向量，
则⊥，⊥，又=（1，2，0），=（0，，），∴=x2+2y2=0，=+=0，
取=（2λ，-λ，1）．∵平面BDE⊥平面PBC，∴•=-λ+1=0，λ=1．所以E为PC的中点．…（6分）
（2）由（Ⅰ）知，=（2，-1，1）为面BDE的法向量，又=（0，0，1）为面ADB的法向量，
∵cos＜，＞==，所以二面角A-BD-E的大小为π-arccos．…（12分）