Question

如图，双曲线的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l₁，l₂，经过右焦点F垂直于l₁的直线分别交l₁，l₂于A，B两点．又已知该双曲线的离心率．
（I）求证：依次成等差数列；
（II）若，求直线AB在双曲线上所截得的弦CD的长度．

Answer

（I）由双曲线的离心率求得a和c的关系，进而求得b和a的关系，设∠AOF=∠BOF=θ，则tanθ可求得，利用正切的二倍角公式求得tan=∠AOB，进而求得和的关系令进而可表示出和，进而求得推断出依次成等差数列．
（II）由c，分别可求得a和b，进而求得双曲线的方程，设直线AB的斜率为k，进而利用tan∠BFX求得k，进而求得AB的方程，与双曲线方程联立，消去y，利用韦达定理表示出x1+x2和x1x2，进而根据弦长公式求得CD．
【解析】
（I）由已知，即，故①
从而②，
故
设∠AOF=∠BOF=θ，则
故，
即令，则，，
满足，
所以，依次成等差数列
（II）由已知c2=5，代入①，②得a2=4，b2=1，
于是双曲线的方程为
设直线AB的斜率为k，则k=tan∠BFX=tan∠AFO=cotθ=2
于是直线AB的方程为：
联立，消y得
故弦CD的长度