Question

已知数列{a_n}，且是函数f（x）=a_n-1x³-3[（t+1）a_n-a_n+1]x+1（n≥2）的一个极值点．数列{a_n}中a₁=t，a₂=t²（t＞0且t≠1）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记，当t=2时，数列{b_n}的前n项和为S_n，求使S_n＞2010的n的最小值；
（3）若，证明：．

Answer

（1）利用函数极值的定义得出数列相邻两项之间的关系是解决本题的关键，关键要确定出相关数列为特殊数列，从而达到求解的目的；
（2）求出数列{bn}的前n项和Sn是解决本题的关键，根据已知条件确定出关于n的不等式，通过解不等式求出正整数n的最小值；
（3）首先要确定出cn的表达式，利用分析法完成不等式的证明，注意约分思想的运用．
【解析】
（1）f′（x）=3an-1x2-3[（t+1）an-an+1]，
所以．整理得：an+1-an=t（an-an-1）．
当t=1时，{an-an-1}是常数列，得an=1；
当t≠1时，{an-an-1}是以a2-a1=t2-t为首项，t为公比的等比数列，所以an-an-1=（t2-t）•tn-2=（t-1）•tn-1
由上式得：an-tn=an-1-tn-1，所以{an-tn}是常数列，an-tn=a1-t=0，an=tn（n≥2）．又，当t=1时上式仍然成立，故an=tn（n∈N*）．
（2）当t=2时，∴
=．

由Sn＞2010，得，，
当，
因此n的最小值为1006．
（3）且，所以等价于等价于
因为，
所以，从而原命题得证．