Question

抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上．设抛物线y²=2px（p＞0），弦AB过焦点，△ABQ为其阿基米德三角形，则△ABQ的面积的最小值为（ ）
A．
B．p²
C．2p²
D．4p²

Answer

法一：直接计算比较复杂，我们可以取几个特殊的位置，可得解．
法二：由于若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上，且△PAB为直角三角型，且角P为直角．又面积是直角边积的一半，斜边是两直角边的平方和，故可求．
【解析】
法一：取倾斜角为：45，60，90，经计算可知，当倾斜角为90时，△ABQ的面积的最小，此时AB=2p，又焦点到准线的距离=p，此时三角形的面积最小为p2故选B．
法二：由于若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上，且△PAB为直角三角型，且角P为直角．，由于AB是通径时，AB最小，故选B．