Question

如图甲，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=，点M、N分别在AB，CD上，且MN⊥AB，MC⊥CB，BC=2，MB=4，现将梯形ABCD沿MN折起，使平面AMND与平面MNCB垂直（如图乙）．
（1）求证：AB∥平面DNC；
（2）当DN的长为何值时，二面角D-BC-N的大小为30°？

Answer

（1）证明AB所在平面MAB与平面DNC平行，即可证明AB∥平面DNC；
（2）过N作NH⊥BC交BC延长线于H，说明∠DHN为二面角D-BC-N的平面角，利用二面角D-BC-N的大小为30°，求出DN的长．
【解析】
（1）证明：∵MB∥NC，MB⊄平面DNC，NC⊂平面DNC，
∴MB∥平面DNC．
同理MA∥平面DNC，又MA∩MB=M，且MA、MB⊂AB∥平面DNC．
（2）过N作NH⊥BC交BC延长线于H，

∵平面AMND⊥平面MNCB，DN⊥MN，
∴DN⊥平面MBCN，从而DH⊥BC，
∴∠DHN为二面角D-BC-N的平面角．
由MB=4，BC=2，∠MCB=90°知∠MBC=60°，
CN=4-2cos60°=3，∴NH=3sin60°=．
由条件知：tan∠NHD=，
∴DN=NH•．