Question

已知抛物线C：y²=2px的准线方程，C与直线ℓ₁：y=x在第一象限相交于点P₁，过P₁作C的切线m₁，过P₁作m₁的垂线g₁交x轴正半轴于点A₁，过A₁作ℓ₁的平行线ℓ₂交抛物线C于第一象限内的点P₂，过P₂作抛物线C₁的切线m₂，过P₂作m₂的垂线g₂交x轴正半轴于点A₂，…，依此类推，在x轴上形成一点列A₁，A₂，A₃，…，A_n（n∈N*），设点A_n的坐标为（a_n，0）．
（Ⅰ）试探求a_n+1关于a_n的递推关系式；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）求证：．

Answer

（I）根据准线方程求出p的值，从而求出抛物线方程，然后将直线与抛物线联立方程组，求出Pn+1的坐标，求出切线mn+1的斜率得到直线gn+1的斜率，从而求出直线gn+1的方程，令y=0，x=an+1得到an+1关于an的递推关系式；
（II）由已知易得P1（1，1），直线m1的斜率km1=，则直线g1的方程为：y-1=-2（x-1）令y=0得a1=．然后利用放缩法可证得结论；
（III）由（II）知：2an+3≤3•2n，然后利用裂项求和法即可证得结论．
【解析】
（I）由题意知：-=x．（1分）
由题意知ℓn+1：y=x-an联立y2=x得：y2-y-an=0，∵y＞0．
∴y=．（3分）
∴切线mn+1的斜率为=，∴直线gn+1的斜率，
∴直线gn+1的方程为y-
令y=0，x=an+1得：an+1=an+1+．（5分）
（Ⅱ）由已知易得P1（1，1），直线m1的斜率km1=，
∴直线g1的方程为：y-1=-2（x-1）令y=0得a1=．（7分）
an+1=an+1+．（9分）
∴an+1+．
当n≥2时∴an+，即：an＜3•2n-1-．
当n=1时，a1=故an＜3•2n-1-．（11分）
（用数学归纳法证明亦可）
（III）由（II）知：2an+3≤3•2n．
∴
=
∴

=．（12分）