Question

已知f（x）是R上的偶函数，若将f（x）的图象向右平移一个单位后，则得到一个奇函数的图象，若f（2）=-1，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2011）的值为（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．不能确定

Answer

由于f（x）是R上的偶函数，所以该函数有对称轴x=0，函数f（x）在右移之前有对称中心（-1，0），故函数f（x）存在周期T=4，在利用题中的条件得到函数在一个周期内的数值，利用周期性即可求解．
【解析】
∵f（x）是R上的偶函数，
∴图象关于y轴对称，即该函数有对称轴x=0，f（x）=f（-x） 用x+1换x，所以f（x+1）=f（-x-1）①
又∵将f（x）的图象向右平移一个单位后，则得到一个奇函数的图象，
∴函数f（x）的图象有对称中心（-1，0），有f（-1）=0，且f（-1-x）=-f（-1+x）  ②
∴由①②得f（x+1）=-f（-1+x），可得f（x+2）=-f（x），得到f（x+4）=f（x），故函数f（x）存在周期T=4，
又f（2）=-1，f（-1）=0，
利用条件可以推得：f（-1）=f（1）=0，f（2）=-1=-f（0），f（3）=f（4-1）=0，
f（-3）=f（3）=0，f（4）=f（0）=1，
所以在一个周期中f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0，
所以f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2011）=f（1）+f（2）+f（3）=-1．
故选A