Question

设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S_△ABC，且S_△ABC=bccosA
（1）求sin²A+sinAcosA的值（2）若b²=a²+c²-ac，b=，求c．

Answer

（1）由三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，代入已知的等式中，由bc不为0，利用同角三角函数间的基本关系弦化切，求出tanA的值，然后把所求的式子分母1变为sin2A+cos2A，分子分母同时除以cos2A，利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，将tanA的值代入即可求出值；
（2）利用余弦定理表示出cosB，把已知的等式变形后代入求出cosB的值，同时由第一问tanA的值求出sinA及cosA的值，由三角形的内角和定理及诱导公式得到sinC=sin（A+B），右边利用两角和与差的正弦函数公式化简，将各自的值代入求出sinC的值，由sinC，sinB及b的值，利用正弦定理即可求出c的值．
【解析】
（1）∵S△ABC=bccosA，且S△ABC=bcsinA，
∴，
∴tanA=2，
则原式=；
（2）∵b2=a2+c2-ac，即a2+c2-b2=ac，
∴cosB=，又B为三角形的内角，
∴sinB==，
∵tanA=2，bccosA＞0，即cosA＞0，
∴cosA==，sinA==，
∴sinC=sin（A+B）
=sinAcosB+cosAsinB
=（sinA+cosA）
=，
由正弦定理得：，
∴．