Question

已知离心率为的椭圆C₁：（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁、F₂，圆C₂：x²+y²=b²与直线l：相切．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如果直线l绕着它与x轴的交点旋转，且与椭圆相交于P₁、P₂两点，设直线P₁F₁与P₂F₁的斜率分别为k₁和k₂，求证：k₁+k₂=0．

Answer

（1）由圆心到直线的距离等于半径，知．由 ，知a2=2b2=8，由此能求出椭圆方程．
（2）设直线为y=k（x+4），它与椭圆相交于P1、P2两点，设P1（x1，y1），P2（x2，y2），F1（-2，0），，，k1+k2=．联立与y=k（x+4）得（2k2+1）x2+16k2x+32k2-8=0，由韦达定理能够证明k1+k2=0．
【解析】
（1）∵圆心到直线的距离等于半径，
∴．
∵，
∴，a2=2b2=8，
所以椭圆方程为 ．
（2）当直线l绕着它与x轴的交点旋转，可设直线为y=k（x+4），
它与椭圆相交于P1、P2两点，
设P1（x1，y1），P2（x2，y2），F1（-2，0），
，
，
k1+k2=+
=
=…（1）
联立与y=k（x+4）得
（2k2+1）x2+16k2x+32k2-8=0，
，
代入（1）式则有
k1+k2=．