Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2-a_n（n∈N^*），函数，数列{b_n}满足b_n+1=f′（b_n），（n∈N^*），b₁=2，，设{b_n}的前n项和为T_n，，A_n=c₁+c₂+…+c_n．
（1）求{a_n}{b_n}的通项公式；
（2）试比较A_n与B_n的大小，并说明理由．

Answer

（1）当n=1时，S1=2-a1=a1⇒a1=1，an=Sn-Sn-1=an-1-an，2an=an-1，{an}是以1为首项，公比为的等比数列，，f′（x）=x+2，由bn+1=f′（bn）得bn+1=f′（bn）=bn+2．由此能求出{an}{bn}的通项公式．
（2）由题设条件先求出，再由裂项求和法求出，然后结合，由错位相减法能求出An=，所以，由此能够比较An与Bn的大小．
【解析】
（1）当n=1时，S1=2-a1=a1，
∴a1=1，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=an-1-an，
2an=an-1，
∴{an}是以1为首项，公比为的等比数列，
∴．
又 ，
∴f′（x）=x+2，
由bn+1=f′（bn），
得bn+1=f′（bn）=bn+2，
∴{bn}是以2为首项，公差为2的等差数列，
故bn=2n．
（2）∵，bn=2n，
∴
∴，…①∴…②
①-②得∴
∴
=
∴
令g（x）=2x-（x+1）
则g′（x）=2xln2-1
当x≥1时，g′（x）≥g′（1），
即g′（x）≥2ln2-1=ln4-1＞lne-1=0
∴g（x）=2x-（x+1）在[1，+∞）上单调递增
∴2n≥n+1对于n≥1恒成立
∴