Question

函数f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3-x），则f（2010）的值为（ ）
A．2010
B．-2010
C．0
D．不确定

Answer

由奇函数的性质可得f（0）=0，令x=-3，求得f（6）=2f（3），令x=0，则f（6）=f（0）+f（3），从而得到f（3）=f（0）=0，函数是以3为周期的函数，从而求得f（2010）=f（0）．
【解析】
∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，故 f（0）=0．
令x=-3，则可得 f（3）=f（-3）+f（6），∴f（6）=f（3）-f（-3）=2f（3）．
令x=0，则f（6）=f（0）+f（3），∴f（3）=f（0）=0．
∴函数是以3为周期的函数，∴f（2010）=f（0）=0，
故选C．