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设直线l与球O有且仅有一公共点P,从直线l出发的两个半平面截球O的两个截面圆O1...

设直线l与球O有且仅有一公共点P,从直线l出发的两个半平面截球O的两个截面圆O1和圆O2的半径1和2,若这两个半平面α,β所成二面角为120,则球O的表面积为   
过P与O作直线l的垂面,画出截面图形,设出球的半径,通过解三角形,利用转化思想求出球的半径的平方,然后求出球的表面积. 【解析】 过P与O作直线l的垂面,画出截面图形,如图 设球的半径为r,作OE⊥QP,OF⊥PM,则EP=1,PF=2, 设∠OPE=α,, 所以 , 即sin ,sin2α+cos2α=1解得 cos2α= 所以r2=; 所以球的表面积为:4πr2=4π×=. 故答案为:.
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