Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面三角形ABC为正三角形，侧棱AA₁⊥底面ABC，AB=2，AA₁=4，E为AA₁的中点，F为BC中点．
（1）求证：直线AF∥平面BEC₁；
（2）求平面BEC₁和平面ABC所成的锐二面角的余弦值．

Answer

方法一（1）取BC1的中点为R，连接RE，RF，通过证明四边形AFRE为平行四边形 得出AF∥RE，再证出直线AF∥平面BEC1；
（2）延长C1E交CA延长线于点Q，连接QB，则∠C1BC为平面BEC1和平面ABC所成的锐二面角的平面角．在△BCC1中求解即可．
方法二：
（1）以点F为坐标原点，FA为x轴，FB为y轴，FS为z轴建立空间直角坐标系，设平面BEC1的法向量为 ，可以利用来证明．
（2）利用BEC1的一个法向量与平面ABC一个法向量夹角求出二面角A-EC-F的大小．
【解析】
法一（1）取BC1的中点为R，连接RE，RF，
则RF∥CC1，AE∥CC1，且AE=RF，…（3分）
则四边形AFRE为平行四边形，
则AF∥RE，AF⊄平面REC1．RE⊂平面REC1．∴AF∥平面REC1．…（6分）
（2）延长C1E交CA延长线于点Q，连接QB，
则QB即为平面BEC1与平面ABC的交线，
由于EA∥C1C，E为AA1的中点，∴A为QC中点，∴QA=AC=AB，
∴∠ABCQ=∠AQB=∠CAB=30°，
∴∠CBQ=∠CBA+∠ABQ=60°+30°=90°，
∴BC⊥BQ，又QB⊥B1B，∴QB⊥面C1CBB1，
∴C1B⊥BQ，
则∠C1BC为平面BEC1和平面ABC所成的锐二面角的平面角．…（8分）
在△BCC1中，
平面BEC1和平面ABC所成的锐二面角的余弦值为．
…（12分）
法二 取B1C1中点为S，连接FS，
以点F为坐标原点，FA为x轴，FB为y轴，FS为z轴建立空间直角坐标系，
则，，…（2分）
（1）则，，
设平面BEC1的法向量为，
则，即…（4分）
令y1=2，则x1=0，z1=1，即，所以，
故直线AF∥平面BEC1．…（6分）
（2）设平面ABC的法向量，
则．
由于平面BEC1和平面ABC所成二面角是锐二面角
所以其余弦值是．
…（12分）