Question

已知函数f（x）=lnx，，
（1）设函数F（x）=2g（x）-f（x），求F（x）的极小值．
（2）设函数F（x）=ag（x）-f（x），（a＞0），若F（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．
（3）若x₁＞x₂＞0，总有m[g（x₁）-g（x₂）]＞x₁f（x₁）-x₂f（x₂）成立，求实数m的取值范围．

Answer

（1）先求出其导函数f'（x），利用导函数值的正负来求其单调区间，进而求得其极值．（注意是在定义域内研究其单调性）
（2）先把问题转化为F（x）在（0，+∞）上的最小值大于0恒成立，然后求出F（x）的最小值即可求出实数a的取值范围；
（3）已知可转化为x1＞x2＞0时，mg（x1）-x1f（x1）≥mg（x2）-x2f（x2）恒成立，令，则h（x）为单调递增的函数结合导数工具即可求得实数m的取值范围．
【解析】
（1），…（2分）
因a＞0时，令F′（x）≥0，则，故F（x）在上单调递减，在上单调递增，
故F（x）在（0，+∞）上的最小值为，…（4分）
（2）由（1）得：故F（x）在（0，+∞）上的最小值为，…（5分）
解得，所以a取值范围是…（6分）
（3）已知可转化为x1＞x2＞0时，mg（x1）-x1f（x1）≥mg（x2）-x2f（x2）恒成立，
令，则h（x）为单调递增的函数，…（8分）
故h′（x）=mx-lnx-1≥0恒成立，即恒成立    …（10分）
令，则，所以
当x∈（0，1）时，m′（x）＞0，m（x）单调递增
当x∈（1，+∞）时，m′（x）＜0，m（x）单调递减m（x）≤m（1）=1，故m≥1…（16分）