Question

设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，已知=（cosB，cosC），=（b，3a-c），且∥．
（1）求cosB的值；
（2）若S_△ABC=b=2，求a，c的值．

Answer

（1）由两向量平行及两向量的坐标，根据两向量平行时满足的特点列出关系式，再利用正弦定理变形，并两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，由sinA大于0，两边同时除以sinA，即可得出cosB的值；
（2）由第一问求出的cosB的值及B为三角形的内角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，再由a与c表示出三角形ABC的面积，根据已知的面积求出ac的值，再由余弦定理得b2=a2+c2-2ac•cosB，把b，cosB及ac的值代入求出a2+c2的值，将关于a与c的两关系式联立组成方程组，求出方程组的解集即可求出a与c的值．
【解析】
（1）∵∥，且=（cosB，cosC），=（b，3a-c），
∴（3a-c）•cosB-b•cosC=0，
由正弦定理===2R得：
（3sinA-sinC）•cosB-sinB•cosC=0，
化简得：3sinAcosB-（sinBcosC+cosBsinC）=3sinAcosB-sin（B+C）=0，
即3sinAcosB=sinA，
∵sinA＞0，
∴cosB=；
（2）∵cosB=，且B为三角形的内角，
∴sinB==，
∵S△ABC=acsinB=ac=2，
∴ac=6①，又b=2，cosB=，
由余弦定理得b2=a2+c2-2ac•cosB=8，
∴把ac=6代入得：a2+c2=12②，
联立①②解得：a=c=，
则a=c=．