Question

已知离心率为的椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点M（，1，O是坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点A、B为椭圆C上相异两点，且⊥，判定直线AB与圆O：x²+y²=的位置关系，并证明你的结论．

Answer

（1）由，能求出椭圆C的方程．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为：y=kx+m，由，得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2-8=0，由△=8（8k2-m2+4）＞0，知8k2-m2+4＞0，由韦达定理得：，y1•y2=（kx1+m）•（kx2+m）=．由得x1x2+y1y2=0．由圆心到直线的距离，能够推导出直线AB与圆O相切．
【解析】
（1）由，解得：，故椭圆C的方程为．（4分）
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为：y=kx+m，
由，得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2-8=0，（1分）
则△=8（8k2-m2+4）＞0，即8k2-m2+4＞0，
由韦达定理得：，（1分）
则y1•y2=（kx1+m）•（kx2+m）
=k2x1x2+km（x1+x2）+m2
=．
由得：
x1x2+y1y2=0，（1分）
即，化简得：3m2-8k2-8=0，（1分）
因为圆心到直线的距离，（1分）
，
而，∴d2=r2，即d=r．（1分）
此时直线AB与圆O相切
当直线AB的斜率不存在时，由可以计算得A，B的坐标为或．
此时直线AB的方程为．
满足圆心到直线的距离等于半径，即直线AB与圆O相切．（1分）
综上，直线AB与圆O相切．（1分）