Question

已知函数f（x）=．
（1）若f（x）在（0，+∞）上是增函数，求实数a的范围；
（2）设 g（x）=ln（f（x））+x²-ax，求证：n-＜g（）＜-（n≥3且n∈N）．

Answer

（1）由于函数为分段函数，故需要进行分类讨论．当x∈（0，1），f（x）=x，f（x）在（0，+∞）上是增函数，从而对任意的x∈（0，1），f′（x）≥0，即-2x2+ax+1≥0，构造g（x）=-2x2+ax+1，则，从而可求a≥1；①当a=1时，f（x）在（0，1）上是增函数，根据f（x）在[1，+∞）上连续，所以f（x）在[1，+∞）上是增函数，从而可知f（x）在（0，+∞）上是增函数；②当a＞1时，f（x）在（0，1）上是增函数，f（x）在（0，+∞）上不是增函数，从而可求a的范围；
（2）因为n≥3且n∈N，所以，从而可知x∈（0，1），g（x）=lnx
，再将证明的结论转化为证明．先猜想当0＜x＜1时，，从而可得
故得证．
【解析】
（1）当x∈（0，1），f（x）=x
∴=（-2x2+ax+1）
∵f（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴∀x∈（0，1），f′（x）≥0
∴-2x2+ax+1≥0
设g（x）=-2x2+ax+1，则
∴a≥1
①当a=1时，f（x）在（0，1）上是增函数
当x＞1，f′（x）=1-
∵f（x）在[1，+∞）上连续
∴f（x）在[1，+∞）上是增函数
∵x→1-，f（x）→1
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数
②当a＞1时，f（x）在（0，1）上是增函数
当x＞1，f′（x）=a-
∵f（x）在[1，+∞）上连续
∴f（x）在[1，+∞）上是增函数
∵x→1-，f（x）→ea-1＞1=f（1）
∴f（x）在（0，+∞）上不是增函数
故a的范围是a=1
（2）∵n≥3且n∈N
∴
∴
∵x∈（0，1），g（x）=lnx
∴g（）=
∴n-＜g（）＜-
⇔n-＜＜-
⇔n-＜＜-
⇔
猜想当0＜x＜1时，
令
则当0＜x＜1时，
∴h（x）在（0，1）上递减
∴h（x）＞h（1）=0
∴
∵
∴R（x）在（0，1）上递增
∴R（x）＞R（1）=0
∴lnx＜x-1
∴猜想成立
∴
∴
故n-＜g（）＜-（n≥3且n∈N）成立．