Question

已知圆C：x²+y²=1，点P（x，y）在直线x-y-2=0上，O为坐标原点，若圆C上存在一点Q，使∠OPQ=30°，则x的取值范围是    ．

Answer

圆O外有一点P，圆上有一动点Q，∠OPQ在PQ与圆相切时取得最大值．如果OP变长，那么∠OPQ可以获得的最大值将变小．因为sin∠OPQ=，QO为定值，即半径，PO变大，则sin∠OPQ变小，由于∠OPQ∈（0，），所以∠OPQ也随之变小．可以得知，当∠OPQ=30°，且PQ与圆相切时，PO=2，而当PO＞2时，Q在圆上任意移动，∠OPQ＜30°恒成立．因此满足PO≤2，就能保证一定存在点Q，使得∠OPQ=30°，否则，这样的点Q是不存在的；接下来进行计算：根据两点间的距离公式表示出OP的长，再把P的坐标代入已知的直线方程中，用y表示出x，代入到表示出OP的长中，根据PO2≤4列出关于y的不等式，求出不等式的解集即可得到y的范围，进而求出x的范围．
【解析】
由分析可得：PO2=x2+y2，
又因为P在直线x-y-2=0上，所以x=y+2，
由分析可知PO≤2，所以PO2≤4，即2y2+4y+4≤4，变形得：y（y+2）≤0，解得：-2≤y≤0，
所以0≤y+2≤2，即0≤x0≤2，则x的取值范围是[0，2]．
故答案为：[0，2]