Question

已知椭圆G：过点A（0，5），B（-8，3），直线CD过坐标原点O，且在线段AB的右下侧，求：
（1）椭圆G的方程；
（2）四边形ABCD的面积的最大值．

Answer

（1）先将点A（0，5），B（-8，3），代入椭圆的方程解得：a=10 b=5，最后写出椭圆G的方程；
（2）连OB，则四边形ABCD的面积=S△OAD+S△OAB+S△OBC，=|yB|AO+dA×OD+dB×OC，dA，dB分别表示A，B到直线CD的距离，设CD：-kx+y=0，代入椭圆方程消去y得到关于x的一元二次方程，再结合求根公式即可求得四边形ABCD的面积，最后结合基本不等式求最大值，从而解决问题．
【解析】
（1）将点A（0，5），B（-8，3），代入椭圆的方程得：b=5，且
解得：a=10 b=5，椭圆G的方程为：
（2）连OB，则四边形ABCD的面积：S△OAD+S△OAB+S△OBC=|yB|AO+dA×OD+dB×OC
dA，dB分别表示A，B到直线CD的距离，设CD：-kx+y=0，代入椭圆方程得：
x2+4k2x2-100=0，
∴D（，）
OC=OD=，
又yA=，yB=，
∴四边形ABCD的面积：S△OAD+S△OAB+S△OBC=|yB|×AO+dA×OD+dB×OC
=+×=20+10×≤20+10．
四边形ABCD的面积的最大值为：20+10．