Question

如图：已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，过BD₁的平面分别交棱AA₁和棱CC₁于E、F两点．
（1）求证：A₁E=CF；
（2）若E、F分别是棱AA₁和棱CC₁的中点，求证：平面EBFD₁⊥平面BB₁D₁．

Answer

（1）由正方体的结构特征，结合已知中过BD1的平面分别交棱AA1和棱CC1于E、F两点，根据面面平行的性质定理，可得D1E∥BF，BE∥D1F，即四边形EBFD1为平行四边形，进而由HL可证得Rt△A1D1E≌Rt△CB，由全等三角形的性质可得A1E=CF；
（2）若E、F分别是棱AA1和棱CC1的中点，易得四边形EBFD1为菱形．连接EF、BD1、A1C1．则四边形EBFD1为菱形，由正方形的结构特征及菱形的性质，可证得EF⊥平面BB1D1，进而根据面面垂直的判定定理可得平面EBFD1⊥平面BB1D1．
【解析】
（1）证明：由题知，平面EBFD1与平面BCC1B1交于BF、与平面ADD1A交于ED1 …（1分）
又平面BCC1B1∥平面ADD1A1
∴D1E∥BF  …（2分）
同理BE∥D1F   …（3分）
∴四边形EBFD1为平行四边形
∴D1E=BF   …（4分）
∵A1D1═CB，D1E=BF，∠D1A1E=∠BCF=90°
∴Rt△A1D1E≌Rt△CBF
∴A1E=CF   …（6分）
（2）∵四边形EBFD1是平行四边形．AE=A1E，FC=FC1，
∴Rt△EAB≌Rt△FCB，
∴BE=BF，故四边形EBFD1为菱形． …（8分）
连接EF、BD1、A1C1．∵四边形EBFD1为菱形，∴EF⊥BD1，
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，有B1D1⊥A1C1，B1D⊥A1A
∴B1D1⊥平面A1ACC1．   …（10分）
又EF⊂平面A1ACC1，∴EF⊥B1D1．又B1D1∩BD1=D1，
∴EF⊥平面BB1D1．
又EF⊂平面EBFD1，故平面EBFD1⊥平面BB1D1．  …（12分）