Question

已知函数f（x）=x³-bx²+2cx的导函数的图象关于直线x=2对称．
（1）求b的值；
（2）若函数f（x）无极值求c的取值范围；
（3）若f（x）在x=t处取得极小值，记此极小值为g（t），求g（t）的定义域和值域．

Answer

（1）先求导函数，根据导函数的图象关于直线x=2对称，可知-=2，从而可求b的值；
（2）函数f（x）无极值，即导函数为0的方程至多有一解，从而可求c的取值范围；
（3）由（2）知，c＜6，f'（x）=0有两个异实根x1，x2，不妨设x1＜x2，则x1＜2＜x2，易得f（x）在x=x1处取极大值，在x=x2处取极小值，且x2＞2，可知函数g（t）的定义域为（2，+∞），根据f'（t）=3t2-12t+2c=0得2c=-3t2+12t．从而可得g（t）=f（t）=t3-6t2+（-3t2+12t）t=-2t3+6t2，再利用函数g（t）在区间（2，+∞）内是减函数，可求函数g（t）的值域．
【解析】
（1）f'（x）=3x2-2bx+2c…（1分）
∵函数f'（x）的图象关于直线x=2对称，
∴-=2，即b=6．…（4分）
（2）由（1）知，f（x）=x3-6x2+2cx，f'（x）=3x2-12x+2c=3（x-2）2+2c-12…（6分）
当c≥6时，f'（x）≥0，此时f（x）无极值   …（8分）
（3）当c＜6时，f'（x）=0有两个异实根x1，x2，不妨设x1＜x2，则x1＜2＜x2；
当x＜x1时，f'（x）＞0，f（x）在区间（-∞，x1）内为增函数；
当x1＜x＜x2时，f'（x）＜0，f（x）在区间（x1，x2）内为减函数；
当x＞x2时，f'（x）＞0，f（x）在区间（x2，+∞）内为增函数．
所以f（x）在x=x1处取极大值，在x=x2处取极小值  …（10分）
因此，当且仅当c＜6时，函数f（x）在x=x2处存在唯一极小值，所以t=x2＞2
于是g（t）的定义域为（2，+∞），由f'（t）=3t2-12t+2c=0得2c=-3t2+12t．
于是g（t）=f（t）=t3-6t2+（-3t2+12t）t=-2t3+6t2，t∈（2，+∞）…（12分）
当t＞2时，g'（t）=-6t2+12t=-6t（t-2）＜0，所以函数g（t）在区间（2，+∞）内是减函数，
故g（t）的值域为（-∞，8）．…（14分）