Question

若函数f（x）=lg（ax²+x+1）在区间（-1，+∞）上为单调递增函数，则实数a的取值范围是    ．

Answer

因为函数f（x）=lg（ax2+x+1）为函数y=lgx与y=ax2+x+1的复合函数，复合函数的单调性是同则增，异则减，因为函数y=lgx在定义域内为增函数，要想复合函数为增函数，只需在定义域上y=ax2+x+1在（-1，+∞）上为单调递增函数，同时还要保证真数恒大于零，由二次函数的图象和性质列不等式即可求得a的范围
【解析】
∵函数f（x）=lg（ax2+x+1）在区间（-1，+∞）上为单调递增函数
∴y=ax2+x+1在（-1，+∞）上为单调递增函数，且ax2+x+1＞0在（-1，+∞）上恒成立
a=0时，显然符合题意
a≠0时
∴需y=ax2+x+1  在[-1，+∞）上的最小值a-1+1=a≥0，且对称轴x=-≤-1，∴0＜a≤
综上所述，0≤a≤
故答案为[0，]