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如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=2AA1,∠BAA1=∠CAA...

manfen5.com 满分网如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=2AA1,∠BAA1=∠CAA1=60°,D,E分别为AB,A1C中点.
(1)求证:DE∥平面BB1C1C;
(2)求证:BB1⊥平面A1BC.
(1)连接AC1,由题意可得:E为A1C的中点,所以E为AC1的中点.连接BC1,可得DE∥BC1,进而根据线面平行的判定定理可得线面平行. (2)设AA1=a,则AB=2a.根据余弦定理可得:A1B2=3a2,所以A1B2+A1A2=AB2,可得A1A⊥A1B.所以B1B⊥A1B,同理可得B1B⊥A1C,再根据线面垂直的判定定理可得线面垂直. 证明:(1)连接AC1,因为AA1C1C为平行四边形, 所以AC1与A1C互相平分. 因为E为A1C的中点, 所以E为AC1的中点. 连接BC1,因为D为AB的中点, 所以DE∥BC1. 因为BC1⊂平面BB1C1C,DE⊄平面BB1C1C, 所以DE∥平面BB1C1C. (2)设AA1=a,则AB=2a. 因为∠BAA1=60°, 所以A1B2=A1A2+AB2-2A1A•AB•cos∠A1AB=3a2, 所以A1B2+A1A2=AB2, 所以A1A⊥A1B. 因为B1B∥A1A,所以B1B⊥A1B. 同理B1B⊥A1C, 因为A1B∩A1C=A1, 所以BB1⊥平面A1BC.
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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