Question

设首项为a₁的正项数列{a_n}的前n项和为S_n，q为非零常数，已知对任意正整数n，m，S_n+m=S_m+q^mS_n总成立．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}是等比数列；
（Ⅱ）若不等的正整数m，k，h成等差数列，试比较a_m^m•a_h^h与a_k^2k的大小；
（Ⅲ）若不等的正整数m，k，h成等比数列，试比较与的大小．

Answer

（Ⅰ）令n=m=1，得a2=qa1，令m=1，得Sn+1=S1+qSn（1），从而Sn+2=S1+qSn+1两式相减即可得出an+2=qan+1，进而可判断出数列{an}是等比数列
（Ⅱ）根据m，k，h成等差数列，可知m+h=2k，进而可判定，进而根据等比数列的通项公式分q大于、等于和小于1三种情况判断．
（Ⅲ）正整数m，k，h成等比数列，则m•h=k2，判断出，进而根据等差根据等比数列的通项公式分a1和q大于、等于和小于1三种情况判断．
（Ⅰ）证：因为对任意正整数n，m，Sn+m=Sm+qmSn总成立，
令n=m=1，得S2=S1+qS1，则a2=qa1
令m=1，得Sn+1=S1+qSn（1），从而Sn+2=S1+qSn+1（2），
（2）-（1）得an+2=qan+1，（n≥1）
综上得an+1=qan（n≥1），所以数列{an}是等比数列
（Ⅱ）正整数m，k，h成等差数列，
则m+h=2k，
所以，
则
①当q=1时，amm•ahh=a12k=ak2k
②当q＞1时，
③当0＜q＜1时，
（Ⅲ）正整数m，k，h成等比数列，则m•h=k2，则，
所以，
①当a1=q，即时，=
②当a1＞q，即时，=
③当a1＜q，即时，=