Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，D，E分）别为AB，CD的中点，AE的延长线交CB于F．现将△ACD沿CD折起，折成二面角A-CD-B，连接AF．
（I）求证：平面AEF⊥平面CBD；
（II）当AC⊥BD时，求二面角A-CD-B大小的余弦值．

Answer

（I）欲证平面AEF⊥平面CBD，根据面面垂直的判定定理可知在平面CDB内一直线与平面AEF垂直，根据翻折前后有些垂直关系不变AE⊥CD，EF⊥CD，又AE∩EF=E，AE⊂平面AED，EF⊂平面AEF，满足线面垂直的判定定理，则CD⊥平面AEF，又CD⊂平面CDB，满足定理所需条件；
（II）先作出二面角的平面角，过点A作AH⊥EF，垂足H落在FE的延长线，连接CH并延长交BD的延长线于G，根据二面角平面角的定义可知∠AEF即为所求二面角的平面角，在三角形AEF中求出此角即可求出所求．
【解析】

（I）证明：在Rt△ABC中，D为AB的中点，得AD=CD=DB，
又∠B=30°，得△ACD是正三角形，
又E是CD的中点，得AF⊥CD．（3分）
折起后，AE⊥CD，EF⊥CD，
又AE∩EF=E，AE⊂平面AED，EF⊂平面AEF，
故CD⊥平面AEF，（6分）
又CD⊂平面CDB，
故平面AEF⊥平面CBD．（7分）
（II）过点A作AH⊥EF，垂足H落在FE的延长线，
因为CD⊥平面AEF，所以CD⊥AH，
所以AH⊥平面CBD．（9分）
连接CH并延长交BD的延长线于G，
由已知AC⊥BD，得CH⊥BD，可得BD垂直于面AHC，从而得到BD垂直于线CG
可得∠CGB=90°，
因此△CEH∽△CGD，
则，
设AC=a，易得
∠GDC=60°，DG=，
代入上式得EH=，
又EA=
故cos∠HEA=．（12分）
又∵AE⊥CD，EF⊥CD，
∴∠AEF即为所求二面角的平面角，（13分）
故二面角A-CD-B大小的余弦值为-．（14分）