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过点M(4,2)作x轴的平行线被抛物线C:x2=2py(p>0)截得的弦长为. ...

过点M(4,2)作x轴的平行线被抛物线C:x2=2py(p>0)截得的弦长为manfen5.com 满分网
(I)求p的值;
(II)过抛物线C上两点A,B分)别作抛物线C的切线l1,l2
(i)若l1,l2交于点M,求直线AB的方程;
(ii)若直线AB经过点M,记l1,l2的交点为N,当manfen5.com 满分网时,求点N的坐标.
(I)由已知得点在抛物线x2=2py上,代入得即可求出p的值; (II)设,直线AB方程为y=kx+b.将直线的方程代入抛物线的方程,消去y得到关于x的一元二次方程,再结合根与系数的关系及导数的几何意义即可求解. (i)由题意得M(4,2)是l1与l2的交点,从而解决问题. (ii)由题意得M(4,2)在直线AB上,故4k+b=2,且x1+x2=4k,x1•x2=16k-8,涉及弦长问题,常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式),从而求得三角形的面积列出方程求得k值,进而求点N的坐标. 【解析】 (I)由已知得点在抛物线x2=2py上,(2分) 代入得8=4p,故p=2.(4分) (II)设,直线AB方程为y=kx+b. , 则x1+x2=4k,x1•x2=-4b.(6分) 求导得, 故抛物线在A,B两点处的切线斜率分别为, 故在A,B点处的切线方程分)别为和, 于是l1与l2的交点坐标为,即为(2k,-b).(8分) (i)由题意得M(4,2)是l1与l2的交点, 故即故直线AB的方程为2x-y-2=0.(9分) (ii)由题意得M(4,2)在直线AB上,故4k+b=2,且x1+x2=4k,x1•x2=16k-8, 故l1与l2的交点N坐标为(2k,4k-2).(11分) , 点N到直线AB的距离, 故.(13分) 故, 即,得k=-1或5,(14分) 故点N的坐标为(-2,-6)或(10,18).(15分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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