Question

在如图所示的几何体中，AE⊥平面ABC，CD∥AE，F是BE的中点，AC=BC=1，∠ACB=90°，AE=2CD=2．
（Ⅰ）证明DF⊥平面ABE；
（Ⅱ）求二面角A-BD-E的余弦值．

Answer

（1）将DF平移到CG的位置，欲证DF⊥平面ABE，即证CG⊥平面ABE，根据线面垂直的判定定理可知，只需证CG与平面ABE内的两相交直线垂直即可；
（2）过点A作AM⊥BE于M，过点M作MN⊥BD于N，连接AN，∠ANM是二面角A-BD-E的平面角，在Rt△AMN中利用余弦定理求出此角．
【解析】
（Ⅰ）取AB的中点G，连接CG、FG．
因为CD∥AE，GF∥AE，所以CD∥GF．
又因为CD=1，，所以CD=GF．
所以四边形CDFG是平行四边形，DF∥CG．（2分）
在等腰Rt△ACB中，G是AB的中点，所以CG⊥AB．
因为EA⊥平面ABC，CG⊂平面ABC，所以EA⊥CG．
而AB∩EA=A，所以CG⊥平面ABE．
又因为DF∥CG，所以DF⊥平面ABE．（6分）

（Ⅱ）因为DF⊥平面ABE，DF⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABE．
过点A作AM⊥BE于M，则AM⊥平面BDE，所以AM⊥BD．
过点M作MN⊥BD于N，连接AN，则BD⊥平面AMN，所以BD⊥AN．
所以∠ANM是二面角A-BD-E的平面角．（10分）
在Rt△ABE中，．
因为，所以△ABD是等边三角形．又AN⊥BD，所以，NM=．
在Rt△AMN中，．
所以二面角A-BD-E的余弦值是．（12分）