Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，点E是棱AB上的动点．
（1）证明：D₁E⊥A₁D；
（2）若二面角D₁-EC-D为45时，求EB的长．

Answer

（1）根据几何体的结构特征可得：AB⊥A1D，结合题意可得：A1D⊥AD1，即可根据线面垂直的判定定理可得线面垂直，进而转化为线线垂直．
（2）过D作DG⊥EC于G，连接D1G，所以D1D⊥平面ABCD，由三垂线定理有D1G⊥EC，所以∠D1GD是二面角D1-EC-D的平面角，再利用解三角形的有关知识解决问题即可．
【解析】
（1）在长方体AC1中，AB⊥平面AA1D1D，A1D⊂平面AA1D1D，
∴AB⊥A1D，…（1分）
因为侧面AA1D1D是矩形，且AD=AA1=1，
所以A1D⊥AD1，…（3分）
又∵AD1∩AB=A，
∴A1D⊥平面ABD1
又D1E⊂平面ABD1，
∴D1E⊥A1D，，…（6分）

（2）过D作DG⊥EC于G，连接D1G，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，有D1D⊥平面ABCD，

由三垂线定理有D1G⊥EC，
∴∠D1GD是二面角D1-EC-D的平面角，…（9分）
所以∠D1GD=45°，
∴DG=1，又矩形ABCD中，DC=2，
∴∠DCE=30°=∠CEB，
∴EB=BCcot30°=，…（12分）．