Question

已知曲线f（x）=x³+x²+x+3在x=-1处的切线恰好与抛物线y=2px²相切，则过该抛物线焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线相交得的线段长为（ ）
A．
B．
C．8
D．4

Answer

为求斜率，先求导函数，得到切线方程，从而可求抛物线方程，进而求出线段长．
【解析】
∵f（x）=x3+x2+x+3，
∴f′（x）=3x2+2x+1，
∴f′（-1）=2，
由已知可得k=f′（-1）=2，
∵切点为（-1，2），∴切线方程为y-2=2（x+1），即y=2x+4．
设此直线与抛物线切于点（x，2px2），
则k=4px=2，得px=，
∵2x+4=2px2，解得x=-4，p=-，
∴抛物线的方程为x2=-4y，
其过焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线相交得的线段长度为4，
故选D．