Question

一个多面体的三视图和直观图如图所示，其中M、N分别是AB、SC的中点，P是SD上的一动点．
（1）求证BP⊥AC；
（2）当点P落在什么位置时，AP平行于平面SMC？
（3）求三棱锥B-NMC的体积．

Answer

（1）根据多面体的三视图和直观图，SD⊥底面ABCD，且ABCD为正方形，可以证明AC⊥面SDB，从而BP⊥AC．
（2）当P为SD中点时，证明AMNP是平行四边形，得出AP∥MN，根据直线和平面平行的判定定理证出AP∥平面SMC．
（3）体积转化：V B-NMC=V N-MCB 则体积易求．
【解析】
（1）根据多面体的三视图和直观图，SD⊥底面ABCD，且ABCD为正方形，∴AC⊥BD，AC⊥SD，BD∩SD=D，∴AC⊥面SDB．BP⊂面SDB∴BP⊥AC．
（2）当P为SD中点时，AP∥平面SMC．连接PN，MN，∵M、N分别是AB、SC的中点，∴PN∥CD，PN=CD，AM∥CD，AM=CD，∴AMNP是平行四边形，∴AP∥MN，∵AP⊄面SMC，MN⊄面SMC，∴AP∥平面SMC
（3）S△MCB=×BM×BC==，N到面ABCD的高h=SD=1，
∴V B-NMC=V N-MCB=S△MCB×h==．