Question

如图，已知直线L：的右焦点F，且交椭圆C于A、B两点，点A、B在直线G：x=a²上的射影依次为点D、E．
（1）若抛物线的焦点为椭圆C的上顶点，求椭圆C的方程；
（2）若为x轴上一点，求证：．

Answer

（1）易知 ，c=1，结合a2=b2+c2可求椭圆的方程
（2）要证当m变化时，直线AE、BD相交于一定点．先找m去特殊值（m=0）时AE与BD相交FK中点 故猜想：当m变化时，AE与BD相交于定点 然后只要证明AN，EN 的斜率相等，从而可得A、N、E三点共线同理可得B、N、D三点共线即可
【解析】
由题意，已知直线L：的右焦点F，故有c=1
（1）抛物线的焦点为（0，）故椭圆C的上顶点的坐标为（0，），可得b=，由椭圆的性质得a=2
故椭圆C的方程为
（2）设A（x1，y1）B（x2，y2）E（a2，y2）D（a2，y1）
当m变化时首先AE过定点N
即（a2+b2m2）y2+2mb2y+b2（1-a2）=0
△=4a2b2（a2+m2b2-1）＞0（a＞1）

∵=
∴kAN=KEN
∴A、N、E三点共线
∴故存在实数λ使得．