Question

设函数，（p是实数，e为自然对数的底数）
（1）若f（x）在其定义域内为单调函数，求p的取值范围；
（2）若在[1，e]上至少存在一点x，使得f（x）＞g（x）成立，求p的取值范围．

Answer

（1）求导f′（x）=，要使“f（x）为单调增函数”，转化为“f′（x）≥0恒成立”，再转化为“p≥=恒成立”，由最值法求解．同理，要使“f（x）为单调减函数”，转化为“f′（x）≤0恒成立”，再转化为“p≤=恒成立”，由最值法求解，最后两个结果取并集．
（2）因为“在[1，e]上至少存在一点x，使得f（x）＞g（x）成立”，要转化为“f（x）max＞g（x）min”解决，易知g（x）=在[1，e]上为减函数，所以g（x）∈[2，2e]，①当p≤0时，f（x）在[1，e]上递减；②当p≥1时，f（x）在[1，e]上递增；③当0＜p＜1时，两者作差比较．
【解析】
（1）f′（x）=，要使“f（x）为单调增函数”，转化为“f′（x）≥0恒成立”，即p≥=恒成立，又 ，所以当p≥1时，f（x）在（0，+∞）为单调增函数．
同理，要使“f（x）为单调减函数”，转化为“f′（x）≤0恒成立，再转化为“p≤=恒成立”，又 ，所以当p≤0时，f（x）在（0，+∞）为单调减函数．
综上所述，f（x）在（0，+∞）为单调函数，p的取值范围为p≥1或p≤0
（2）因g（x）=在[1，e]上为减函数，所以g（x）∈[2，2e]
①当p≤0时，由（1）知f（x）在[1，e]上递减⇒f（x）max=f（1）=0＜2，不合题意
②当p≥1时，由（1）知f（x）在[1，e]上递增，f（1）＜2，又g（x）在[1，e]上为减函数，
故只需f（x）max＞g（x）min，x∈[1，e]，
即：f（e）=p（e-）-2lne＞2⇒p＞．
③当0＜p＜1时，因x-≥0，x∈[1，e]
所以f（x）=p（x-）-2lnx≤（x-）-2lnx≤e--2lne＜2不合题意
综上，p的取值范围为（ ，+∞）