Question

选修4-5：不等式选讲．
设函数f（x）=2|x-1|+|x+2|．
（Ⅰ）求不等式f（x）≥4的解集；
（Ⅱ）若不等式f（x）＜|m-2|的解集是非空的集合，求实数m的取值范围．

Answer

（Ⅰ）化简f（x）的解析式，结合单调性求出不等式 f（x）≥4的解集．
（Ⅱ） 利用f（x）的单调性求出 f（x）≥3，由于不等式f（x）＜|m-2|的解集是非空的集合，得|m-2|＞3，解绝对值不等式求出实数m的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）f（x）=，令-x+4=4 或 3x=4，
得x=0，x=，所以，不等式 f（x）≥4的解集是{x|x≤0，或x≥}．
（Ⅱ）f（x）在（-∞，1]上递减，[1，+∞）上递增，所以，f（x）≥f（1）=3，
由于不等式f（x）＜|m-2|的解集是非空的集合，所以，|m-2|＞3，
解之，m＜-1或m＞5，即实数m的取值范围是：（-∞，-1）∪（5，+∞）．