Question

从某校高三年级800名男生中随机抽取50名学生测量其身高，据测量被测学生的身高全部在155cm到195cm之间．将测量结果按如下方式分成8组：第一组[155，160），第二组[160，165），…，第八组[190，195]，如图是按上述分组得到的频率分布直方图的一部分．已知：第1组与第8组的人数相同，第6组、第7组和第8组的人数依次成等差数列．

（1）求下列频率分布表中所标字母的值，并补充完成频率分布直方图；
（2）若从身高属于第6组和第8组的所有男生中随机的抽取2名男生，记他们的身高分别为x、y，求满足：|x-y|≤5事件的概率．

Answer

（1）由频率和为1，及题设条件得出样本中6、7组的人数为7人，由已知：x+m=7，x，m，2成等差数列，故可求得答案．
（2 从身高属于第6组和第8组的所有男生中随机的抽取2名男生，记他们的身高分别为x、y，求满足：|x-y|≤5事件的概率，这是一个古典概率模型的问题．用列举法列出基本事件的个数与事件工包含的基本事件数，用古典概率模型的公式求概率．
【解析】
（1）由直方图可得前5组的概率是（0.008+0.016+0.04+0.04+0.06）×5=0.82，（1分）
第8组的概率是0.04，所以第6，7组的概率是1-0.86=0.14，所以样本中6、7组的人数为7人．①（3分）
∵x，m，2成等差数列，
∴x=2m-2②
由①②得：m=3，x=4，即y=0.08，n=0.06；z=0.016，p=0.012．频率分布直方图如图所示．（6分）
（2）由（1）知，
身高在[180，185）内的人数为4人，设为a，b，c，d，身高在[190，195]内的人数为2人，设为A，B，（7分）
若x，y∈[180，185）有ab，ac，ad，bc，bd，cd有6种情况；（8分）
x，y∈[190，195]有AB有1种情况，
若x，y∈[180，185）或x，y∈[190，195]时有aA，bA，cA，dA，aB，bB，cB，dB有8种情况．高+考*资-源．网
所以基本事件总数为6+1+8=15种．（10分）
所以，事件“|x-y|≤5”所包含的基本事件个数为6+1=7种，
所以，P（|x-y|≤5）=（12分）